Concours ENSAM 2014 Mathématiques

Question 1 :

Pour quelles valeurs de \( m \) le système \[\begin{cases} -X - Y - 2mZ & = 1 \\ X + (1 - m)Y + Z & = 2 \\ (2X + 3Y + mZ) & = 3 \end{cases}\] admet une solution unique:

A) -1 et un nombre négatif

B) uniquement -1

C) -1 et un nombre positif

D) -1 et \(\frac{1}{2}\)

Question 2 :

Sur \([0, +\infty[\), la fonction \( f \) définie par \( f(x) = |x| + \ln(x + 1) \) est:

A) toujours positive

B) toujours négative

C) négative puis positive

D) positive puis négative

Question 3 :

Soit \( f \) définie par \( f(0) = \frac{1}{e}, f(e) = 0 \) et \( f(x) = e^{\frac{(1+\ln x)}{1-\ln x}} \). Alors sa courbe \( C_f \) admet:

A) une asymptote oblique en +∞

B) en \( x = e \) une demi tangente à gauche

C) en \( x = e \) une demi tangente à droite verticale

D) aucunes des trois réponses

Question 4 :

Dans une boîte se trouvent 14 jetons portant chacun une lettre du nom "SAHARA MAROCAIN". On tire successivement et sans remise 5 jetons. Quelle est la probabilité pour que l'on tire les lettres du nom "SMARA" dans un ordre quelconque?

A) \(\frac{1}{6006}\)

B) \(\frac{10}{1001}\)

C) \(\frac{50}{14^5}\)

D) aucunes des trois réponses

Question 5 :

Une boîte \( B_1 \) contient 2 jetons numérotés: 1, 3. Une boîte \( B_2 \) contient 2 jetons numérotés: 2, 2. Une boîte \( B_3 \) contient 2 jetons numérotés: 1, 0. On tire au hasard un jeton \( a \) de \( B_1 \), un jeton \( b \) de \( B_2 \), un jeton \( c \) de \( B_3 \). Quelle est la probabilité pour que l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \) admet des racines réelles?

A) 0,5

B) 0,25

C) 0,75

D) 1

Question 6 :

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les deux points \( A(-1,1,1) \) et \( B(7,-5,5) \). Soit \( S \) la sphère dont l'un des diamètre est le segment \( [AB] \). Le plan tangent à \( S \) au point \( C(1,1 ,- 1) \) est:

A) \( 2x - 3y + 4z + 5 = 0 \)

B) \( 4x + 3y + 2z - 5 = 0 \)

C) \( 2x + 2y - z - 5 = 0 \)

D) \( 4x + 2y + 2z - 5 = 0 \)

Question 7 :

Soit \( u_n \) la suite de terme général \( u_n = \int_{n}^{n+1} e^{(\frac{x}{u})} dx \). Alors

A) \( \lim_{n\to +\infty}u_n =+\infty \)

B) \( \lim_{n\to +\infty}u_n = 0 \)

C) \( \lim_{n\to +\infty}u_n = 1 \)

D) \( \lim_{n\to +\infty}u_n = e \)

Question 8 :

Sur \( R^* \), la fonction \( f(x) = \ln\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) \) admet :

A) Un maximum local

B) Deux maximum locaux

C) Un minimum local

D) Deux minimum locaux

Question 9 :

Combien l'équation \( \tan x + \tan 2x + \tan 3x + \tan 4x = 0 \) possède-t-elle de solutions dans \([0,\frac{2\pi}{3}]\) ?

A) Cinq solutions

B) Six solutions

C) Sept solutions

D) Plus que sept solutions

Question 10 :

\[ \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=0}^{n-1}\left( \cos\left(\frac{2^k\pi}{2^n - 1}\right) \right) = \]

A) 0

B) 1

C) \( +\infty \)

D) cette limite n'existe pas

Concours Commun d'accès en 1ère année ENSAM - Session 2014